Kolmogorov: el matemático del siglo XX

Rolando Rebolledo

El día 21 de octubre de 1987, Moscú amaneció nuevamente nublado, con una temperatura inusualmente alta para la estación (0º C). Mi amigo Yuri Kabanov pasó a recogerme al hotel para llevarme al Instituto Steklov donde debía dictar mi conferencia en la tarde. Enfilamos hacia Leninskii Prospekt y ahí, con el telón de fondo de la ancha avenida, me confirmó los temores que todos teníamos desde hacía varios días. Se había extinguido. Había ocurrido el día anterior, el martes 20. Albert Shiryaev había estado en permanencia a su lado y ahora se ocupaba de los asuntos protocolares de su último viaje. La noticia necrológica de la agencia Tass aparecería el jueves 22, firmada por Mijail Gorbachov. Kolmogorov pasó a la leyenda en vida. Los matemáticos de este siglo se acostumbraron a encontrar su nombre en relación con muchas teorías distintas, marcando siempre contribuciones fundamentales. La teoría de series trigonométricas, la teoría de la medida, la teoría de conjuntos, la teoría de la integral, la lógica constructiva, la topología, la teoría de la aproximación, la teoría de probabilidades, la teoría de procesos estocásticos, teoría de la información, estadística matemática, sistemas dinámicos, autómatas finitos, teoría de algoritmos, lingüística matemática, teoría de la turbulencia, mecánica celeste, ecuaciones diferenciales, el 13º problema de Hilbert, balística, y las aplicaciones de las matemáticas a problemas de la biología, geología, la cristalización de metales, la creación poética a partir de los estudios en lingüística matemática, y muchas otras. Su producción cuenta alrededor de 350 artículos y libros, cada uno de ellos un “clásico” en su género. Recibió siete medallas “Lenin”, el título de “Héroe del Trabajo Socialista”, los premios “Lenin” y del Estado; el premio Bolzano. Fue nombrado miembro de varias Academias de Ciencias : la Neerlandesa (1963), la London Royal Society (1964); la National Academy of Sciences de USA (1967); l'Académie des Sciences de Paris (1968); la Academia de Ciencias de Rumania (1956); la Academia Alemana de Naturalistas Leiopoldina (1959); la American Academy of Sciences and Arts in Boston (1959). Antes, en 1939 (a los 36 años de edad), Kolmogorov fue elegido miembro de número de la Academia de Ciencias de la URSS y accedió al poco tiempo a la Secretaría Académica de la sección Matemáticas y Física. El grado de Doctor Honoris Causa le fue conferido por las Universidades de Paris, Estocolmo y Varsovia. Fue elegido como miembro honorario de las Sociedades de Matemática de Moscú (de la cual fue Presidente durante varios períodos), de Londres, de Calcutta, de la India y de la Royal Statistical Society, del International Statistical Institute y de la American Meteorological Society. Podríamos decir que Andrei Nikolaievitch se atrajo la consideración de todos los hombres de ciencia de su época. Pocos científicos han desarrollado un trabajo tan diverso y completo en la historia de la humanidad. Tiene algo de Leonardo, de Aristóteles, de Euclides. Al igual que en el caso de Einstein, la pregunta surge sobre las circunstancias que determinan la existencia de estas personalidades. Su vida es una invitación a la ciencia en el más pleno sentido de la palabra, concebida como forma de racionalizar el sueño de la transformación del mundo por el hombre. Nació en Tambov el 25 de Abril de 1903. Su padre era un agrónomo. Su madre murió al dar a luz, su educación fue asumida por la hermana de su padre, Vera Yakovlevna, de quien se dice tenía ideas avanzadas. Rusia vivía entonces la víspera de su primera revolución. Los años que siguieron a ésta se vieron marcados por una polarización creciente de la vida social, muchos intelectuales tomaron el camino del exilio. Pronto sopló sobre Europa el viento de la guerra y la vida cotidiana en Rusia se hizo extraordinariamente difícil. ¿Cómo sustraerse a la fuerza impetuosa de la historia? Nos preguntamos hoy cómo habrá sido el pan de Andrei Nikolaievitch en su adolescencia, cómo la tierra rusa impregnó su vida. Cuáles serían sus temas de conversación, sus diversiones. Para los hombres de esa época, la vida no fue jamás un dato de base, punto inicial de una trayectoria segura y tranquila. El placer por las cosas más simples fue resultante de la disputa cotidiana de lo esencial.

“Al llegar a la zona del frente, donde el espacio atronaba y se estremecía en muchos kilómetros a la redonda, los convoyes y las unidades militares se esparcían y se esfumaban. Allí terminaba lo vivo y todo lo humano. A cada uno se le destinaba su sitio en la tierra, en la trinchera. Allí dormía, comía, mataba piojos y “zumbaba” con el fusil, hasta entontecerse, apuntando hacia la cortina de la lluvia. Por las noches se extendían lentamente en el horizonte los altos y purpúreos resplandores de los incendios; los chispeantes cordones de las bengalas ponían sus rayas en el cielo y se deshacían luego en una lluvia de estrellas; los obuses volaban ululantes, a la caza del hombre, y estallaban levantando surtidores de fuego, humo y polvo. Allí, el miedo, cerval, hacía sentir arcadas, ponía carne de gallina y agarrotaba los dedos. A eso de la medianoche sonaban toques de corneta. Corrían por las trincheras oficiales y, la boca crispada, ponían en pie con blasfemias gritos y golpes a los soldados, abotargados por el sueño y la humedad. Dando traspiés, con soeces juramentos y salvajes aullidos, corrían desordenadamente por el campo grupos de hombres que hacían cuerpo a tierra, se levantaban y, aturdidos, locos, embrutecidos por el miedo y la furia, irrumpían en las trincheras enemigas. Luego nadie recordaba nunca lo que se hacía allí, en aquellas trincheras. Si querían jactarse de su heroísmo -de cómo habían clavado la bayoneta o como habían roto alguna cabeza de un culatazo- tenían que mentir. Lo único que quedaba del golpe de mano nocturno eran los cadáveres. Amanecía y llegaban las cocinas de campaña. Desmadejados y ateridos, los soldados comían y fumaban. Luego hablaban de mujeres y también mentían mucho. Cazaban piojos y dormían. Dormían el día entero en aquella franja de tierra desnuda, sucia de defecciones y de sangre, en la que tenían su reino el tronar de los cañones y la muerte”.

Rusia se desangraba en la guerra. La alimentación se hacía difícil. El joven Kolmogorov comienza a trabajar a temprana edad. Sus biógrafos aseguran que poco antes de ingresar a la universidad había conseguido un puesto de conductor de trenes. No durará mucho en ese empleo. Su vida se vería profundamente alterada por los sucesos que marcaron la historia de la humanidad en la segunda década de este siglo. Vendrá la revolución de Febrero 1917. El fin del régimen zarista y la instauración del Gobierno Provisional. Los acontecimientos se precipitan. “¡Todo el poder a los Soviets!” se grita en las calles. El pueblo hambriento y desangrado por la guerra, quiere la paz. El gobierno provisional hace un último intento por relanzar la guerra: en el mes de Junio convoca en Petrogrado una gran manifestación para despedir a los soldados que parten al frente y apoyar la política de guerra. Pero su intento fracasa. La gente desfila por Petrogrado pidiendo la paz y ¡todo el poder para los soviets! La represión gubernamental es la respuesta que encuentran a sus demandas. Miles de personas mueren bajo la metralla. Una idea gana fuerza en el pueblo ruso: ya no queda otra forma de combatir el injusto gobierno más que la insurrección. Los meses que separan Junio de Octubre estarán marcados por un trabajo febril de organización y de movilización. Hasta llegar al 25 de Octubre según el antiguo calendario, 7 de noviembre según el nuevo. Veamos que dice un testigo de los hechos en Petrogrado, el escritor y capitán del ejército francés Jacques Sadoul:

“Petrogrado, 25 de Octubre de 1917. El movimiento bolchevique se ha desencadenado esta noche. Desde mi pieza he escuchado el ruido lejano de los tiroteos. Esta mañana, la calle está tranquila; en el Hotel Astoria, donde están alojados algunos centenares de oficiales rusos y la mayor parte de las misiones de los aliados, la guardia de los Junker, fiel al gobierno provisional, acaba de ser reemplazada por un destacamento bolchevique sin enfrentamiento. Hora tras hora, nos enteramos que las estaciones, el Banco del Estado, el telégrafo, el teléfono, la mayor parte de los ministerios, han caído sucesivamente en manos de los insurgentes. El Gobierno Provisorio está sitiado en el Palacio de Invierno. Si el Comité revolucionario hubiese querido hacer uso de la violencia, ya habría caído prisionero, pero se estima que esta segunda revolución no debe hacer correr ni una sola gota de sangre. Bonito ideal, pero ¡cuán difícil de realizar! Mañana, ante el Congreso de los Soviets, se desarrollará el programa del gobierno bolchevique, que será inmediatamente constituido. He aquí los artículos esenciales del programa inmediato: Proposición de un armisticio a los pueblos beligerantes, que permita la apertura de negociaciones para obtener una paz democrática y justa; Supresión de la gran propiedad latifundista y entrega de la tierra a los campesinos según un procedimiento regulado por los comités agrarios locales y la Asamblea Constituyente que será convocada para el 12 de Noviembre; Control obrero de la producción y de la distribución de productos; Monopolio del Banco estatal; Supresión de la pena de muerte en el frente. Petrogrado, 26 de Octubre de 1917. Segundo día de la insurrección: Nuestros medios oficiales decididamente no parecen medir en su justo valor la acción potente y ordenada de los bolcheviques. No se entiende sobre todo, en mi opinión, hasta qué punto esta acción corresponde al cansancio general. De cada 100 rusos, 80 son bolcheviques confesos y los 20 otros, bolcheviques 'vergonzosos'. Se cuenta con el apoyo de las tropas cosacas. Pero, ¿son ellas suficientemente numerosas y no se pasarán también ellas al lado de los insurrectos?”

Y el escritor Boris Pasternak hacía reflexionar así a su personaje, el doctor Yuri Zhivago: “¡Qué magistral operación quirúrgica! Echar mano del bisturí y sajar tan maravillosamente todos los viejos abscesos. Sin equívocos y con toda sencillez se liquida una injusticia secular que estaba acostumbrada a recibir inclinaciones, reverencias y toda clase de homenajes. Y en la forma en que todo esto ha sido llevado hasta el final, sin vacilaciones, hay algo que pertenece a nuestra tradición nacional, algo familiar y de costumbre. Algo de la luz absoluta de Pushkin, el anunciador, y de la implacable fidelidad a la realidad de un Tostoi”. Numerosos trabajos de testimonio sobre estos días que marcaron la historia de la humanidad fueron escritos, citemos en particular, aparte de Sadoul, a John Reed, Philips Price, Bessie Beatty, Abert Rhys Williams, Ciril Dorcak, Hans Zebrowske, Adolf Sipek, El mundo de los intelectuales progresistas simpatizó plenamente con el gobierno revolucionario. Henri Barbusse, Antonio Gramsci, Herbert Wells, Bertrand Russell, Otavio Brandao, Martin Andersen, Anatole France, Bernard Shaw, Romain Rolland, Rabidranath Tagore entre otros, suscribieron los ideales de la revolución de Octubre. El sueño de la economía de los derramamientos de sangre no fue realidad desgraciadamente. A la insurrección seguirá la guerra civil, los antiguos poseedores resistieron hasta la última gota de sangre la pérdida de sus privilegios. El joven poder soviético tuvo que aprender a luchar para defenderse y a construir la patria nueva al mismo tiempo. Las universidades abrieron grandes las puertas a los postergados de antes. Se llenaron las aulas de talentosos jóvenes que no habrían podido frecuentarlas en el antiguo sistema. Así llegó Kolmogorov a la Universidad de Moscú en 1920. Siguiendo la moda, se inscribió en los estudios de Historia de Rusia. Pero rápidamente comenzó a frecuentar también los seminarios de Matemáticas. Hizo investigaciones muy serias sobre los manuscritos de los siglos XV-XVI respecto a las relaciones agrarias en el antiguo Novgorod, trabajando en el seminario del Profesor S. V. Bajrushin. Si bien posteriormente su trabajo se orientó hacia distintas ramas de las Matemáticas, jamás abandonó su interés por las ciencias sociales y por las artes.

“Llegué a Moscú con un buen conocimiento de las matemáticas, gracias al libro Novye idei v matematike (Nuevas ideas en matemáticas). Conocía en particular los principios de la teoría de conjuntos. Había estudiado muchos temas en la Enciclopedia de Brockhaus y Efron, completando yo mismo lo que aparecía presentado en forma demasiado concisa en aquellos artículos. En aquel tiempo una beca de estudiante no era de un valor monetario muy grande, pero los estudiantes del segundo curso recibían como suplemento una ración de un pud (16 kilos) de pan de harina integral y un kilo de grasa vegetal o animal (de vaca) dependiendo de los avances de la ciencia (al parecer al principio era grasa vegetal y después se reemplazó por mantequilla fresca). Entonces la primera cosa que hice fue pasar rápido los exámenes requeridos para pasar del primero al segundo curso”.

Así describe Andrei Nikolaievitch sus primeros años de universidad. La teoría de conjuntos con Zhegalkin y la geometría proyectiva con Vlasov, fueron sus primeros cursos. Luego se interesó en la teoría analítica de funciones enseñada por Nikolai Nikolaievitch Lusin.

Cuenta Kolmogorov que su primera hazaña la realizó en el curso de Lusin, después de lo cual se hizo conocido: “Lusin gustaba de improvisar sus clases y en aquella sobre la demostración del Teorema de Cauchy se le ocurrió usar el siguiente lema: sea un cuadrado dividido en un número finito de cuadrados; entonces para cada constante C existe una C' tal que para cada curva de largo no mayor que C la suma de los perímetros de los cuadrados que tocan la curva no sea mayor que C'. Dos semanas más tarde me dirigí al presidente del grupo de estudiantes de matemáticas, S. Kovner, con un pequeño manuscrito (que aún existe, fechado 4 de Enero de 1921) en el cual se refutaba la aserción. Todo esto fue referido a Lusin, quien estuvo de acuerdo con mi observación y dio posteriormente una demostración correcta del Teorema de Cauchy”. En aquella época Pavel Samuilovitch Uryson intentaba tentarlo para que trabajara con él en Topología; tenía en mente para él el problema de la determinación del número de geodésicas en superficies cerradas. Pero su interés fue canalizado por el seminario de Stepanov sobre las series trigonométricas. En 1922, después de escribir su primer artículo original -un estudio sobre el orden de magnitud de los coeficientes de Fourier- que interesaba a Lusin, éste le propuso que junto a un grupo de estudiantes trabajara con él, con el propósito de que se concentraran en la teoría métrica de funciones (teoría de la integral, teoría de las series de Fourier). Comienza así el primer período creativo del matemático Kolmogorov. Por entonces, los avances en la Teoría de la Medida , abrían naturalmente una serie de problemas relativos a las operaciones sobre conjuntos que se unían a aquellos de la naciente Topología y otros más antiguos en el Análisis Matemático, como los relativos a las Series de Fourier. Lebesgue, al presentar la obra de Lusin “Leçons sur les Ensembles Analytiques et leurs applications”, diría en 1930: “Después de reflexionar, me pareció que un prefacio es el único lugar en que podría confesar en alta voz aquello que el Sr. Lusin ha ocultado cuidadosamente: el origen de todos los problemas de los cuales trata esta obra es un error grosero en mi Memoria sobre las funciones representables analíticamente. Fructífero error que cometí muy bien inspirado! La consideración de las funciones discontinuas había ampliado tanto el campo de estudio del Análisis que se hacía inquietante. Sin embargo, halagaba al espíritu que, de todas las funciones y de todos los conjuntos conocidos, las funciones de Baire y los conjuntos medibles B, que les son asociados, se introducirían solos necesariamente en matemáticas; puesto que las operaciones efectuadas sobre estas funciones y conjuntos conducen siempre a funciones y conjuntos de las mismas familias. El Análisis habría llevado en sí mismo un principio de limitación. Para ver si era así, era necesario examinar en particular la resolución de las ecuaciones que conducen a las funciones implícitas. En el curso de este estudio, yo formulaba este enunciado: la proyección de un conjunto medible B es siempre un conjunto medible B. La demostración era simple, corta, pero falsa. El Sr. Lusin, entonces profesor debutante, y el Sr. Souslin, uno de sus primeros alumnos, percibieron el error e intentaron repararlo. Imagino que al principio creyeron que era cosa fácil; pero las dificultades aparecieron rápido y llegaron incluso a dudar del propio enunciado, y enseguida demostraron su falsedad con un ejemplo irrefutable. Así, el Análisis no lleva en sí mismo un principio de limitación. La extensión de la familia de funciones de Baire era de una vastedad que provocaba el vértigo, el campo del Análisis es más vasto aún ¡Y de qué manera! Efectivamente, para resolver el error de Lebesgue, Lusin y Souslin debieron edificar una nueva teoría, la de los conjuntos analíticos, preludio a la Teoría del Potencial. Bajo la influencia de estos trabajos, Kolmogorov formuló el deseo de desarrollar una teoría general de operaciones sobre los conjuntos. En la primavera de 1922 completó su máxima investigación en esta dirección. Introdujo una clase muy amplia de operaciones sobre los conjuntos, las operaciones dS. Este trabajo sólo pudo ser conocido más tarde, en 1928. Como Andrei Nikolaievitch lo explica él mismo, “mis trabajos descriptivos de 1921-1922 se quedaron sobre el escritorio de Lusin; él los encontraba metodológicamente incorrectos y quedaron intocados hasta 1926” .

Pero un hecho interesante se había producido en la preparación de aquel trabajo. Al no suscitar el interés de Lusin en 1921, Kolmogorov fue con su manuscrito a discutir con Uryson quien le presentó a Pavel Sergeievitch Aleksandrov. Fue una idea muy buena porque las operaciones de Kolmogorov generalizaban naturalmente los resultados de Aleksandrov sobre los conjuntos “A”. Se produjo así el primer contacto entre estos dos grandes científicos a quienes uniría posteriormente una indestructible amistad. Aleksandrov murió seis meses antes de que Kolmogorov cumpliese los ochenta años. Como ya estaba en preparación el volumen de Uspeji Matematicheskij Nauk dedicado a honrar ese aniversario, el editor pidió a Aleksandrov que escribiese algo para la ocasión y éste se refirió así a su amistad con Kolmogorov: “Mi amistad con A. N. Kolmogorov ocupa un lugar muy excepcional en mi vida. En 1979 esta amistad celebró su cincuentenario y en todo este medio siglo, no sólo no hubo ninguna brecha en ella, pero ni siquiera una fricción, en todo este tiempo jamás hubo un malentendido entre nosotros sobre tema alguno, cualquiera haya sido la importancia de éste para nuestras vidas o nuestra filosofía; incluso cuando nuestras opiniones en alguno de estos puntos diferían, mostrábamos comprensión y simpatía completa por los puntos de vista del otro”. En efecto, a los primeros contactos de 1921-1922, siguió una invitación de Kolmogorov a Aleksandrov en 1929 para recorrer en bote el Volga. Desde entonces se hicieron amigos inseparables. En 1922, Kolmogorov construyó ejemplos de una serie de Fourier divergente casi en todas partes y luego, de una divergente en cada punto. Ambos ejemplos causaron un enorme efecto porque eran inesperados. Y así, durante los años 1922-1925, Andrei Nikolaievitch se concentrará en la teoría de las series de Fourier y de los sistemas ortogonales de funciones. Al concentrarse en esos problemas seguía en parte las orientaciones generales que Lusin le había dado, pero, sobre todo, su original forma de enfocar el trabajo en matemáticas, con una profunda conciencia histórica del papel de éste. De una manera específica sus resultados sobre las series de Fourier respondían a inquietudes filosóficas que alimentaban el debate ideológico de la época. La interrogante que Lebesgue, años más tarde, formulara en el prefacio a la obra de Lusin que ya hemos citado, estaba latente desde 1900. A saber, en el caso del Análisis, el problema de sus límites intrínsecos. La teoría está incompleta, mostraba Kolmogorov y formulaba luego cómo resolver el problema de su limitación. La respuesta, en términos filosóficos está en la ley general de la dialéctica llamada de la “negación de la negación”: la nueva teoría construida a partir de la vieja la incluirá como una de sus partes constituyentes. Negando el carácter universal de la primera se la hace caso particular de una segunda teoría que será también superada en un desarrollo ulterior del conocimiento. Pero otro asunto polémico, en torno al cual la lucha entre la escuela idealista y la escuela materialista era intensa, decía relación con la pregunta formulada por Hilbert en 1900 sobre la demostración de la no contradicción de las matemáticas. Tres años más tarde, la crisis estallaba con la publicación de la paradoja de Russell. Es importante seguir en paralelo el desarrollo de esta crisis (drama vivido por los matemáticos y los lógicos formales en forma silenciosa) con aquella que simultáneamente sacude a la Física , con el telón de fondo de las transformaciones sociales revolucionarias de principio de siglo. En los medios matemáticos siguió una cruenta lucha que Hilbert quiso resolver “eliminando de una vez por todas el problema del fundamento de las matemáticas”, creando la llamada metamatemática. Este paso dado por Hilbert era un reconocimiento explícito de que el problema de los fundamentos de las matemáticas no es matemático. Significó una ganancia formal importante, pero no resolvió el problema fundamental. En todo caso sirvió para que el joven Gödel, en 1931, probara la incompletitud de las matemáticas, a saber, que es imposible demostrar en su seno su no-contradicción. Por su parte, la Teoría de la Relatividad y la Mecánica Cuántica producían la “negación de la negación” en Física. El llamado “principio de incertidumbre” descubierto por Heisenberg, llevará a un cruento enfrentamiento de los físicos consecuentemente materialistas (Einstein entre ellos) y los diversos tipos de idealistas agrupados en la Escuela de Copenhague (Bohr entre otros). La batalla se dará en torno al Principio de Causalidad que los idealistas consideraban desahuciado. Poincaré, que había estado trabajando sobre la teoría de la relatividad al mismo tiempo que Einstein, profundamente conmovido por los descubrimientos de la ciencia de los primeros cinco años de este siglo, y por el intenso debate entre los matemáticos, se hará “empiriocriticista”, siguiendo al físico Mach y Avenarius. Escribirá que los conceptos de espacio y tiempo son relativos y que por consiguiente “no es la naturaleza la que nos los da, sino que somos nosotros los que los damos a la naturaleza, pues nos parecen más cómodos”. Es sabido que Lenin en 1908 desenmascaró a esta tendencia ideológica como una corriente del idealismo filosófico, en referencia a la anterior cita de Poincaré, sitúa el problema en su justa dimensión en “Materialismo y Empiriocriticismo”: “¿Acaso esto no confirma la declaración de Engels (que los 'empiriocriticistas' pretendían negar) de que las doctrinas filosóficas consecuentes deben tomar por primario o la naturaleza o el pensamiento humano?” Es interesante contrastar la opinión de Poincaré con aquella del matemático Hardy que éste hará pública muchos años más tarde, en 1940: “Creo que la realidad matemática reside fuera de nosotros, que nuestra función es descubrirla u observarla y que los teoremas que demostramos y que grandilocuentemente calificamos como nuestras “creaciones”, son tan sólo los productos de nuestras observaciones”. Esa visión de las matemáticas era compartida y aplicada en su trabajo por Kolmogorov, científico consecuente. Su trabajo sobre los fundamentos de la Teoría de Probabilidades, que lo consagra a nivel mundial como uno de los más grandes matemáticos del siglo, plantea , desde las matemáticas, el problema de los fundamentos como un asunto que el hombre resuelve mediante la formulación de reflejos del mundo real en su edificio teórico. La axiomática es entonces la búsqueda de las formas más simples de reflejo de la realidad, escritas en un determinado lenguaje matemático, cuya validez será puesta a prueba por el ulterior retorno a la naturaleza y la subsecuente transformación de ésta. Corresponde a la visión que Engels entrega de la teoría del conocimiento en la “Dialéctica de la Naturaleza ”: cada ciencia particular tiene como objeto de estudio diferentes aspectos de la materia, pero ésta siendo inseparable de su propio movimiento determina que las ciencias también se caractericen por estudiar las leyes del movimiento de sus objetos básicos. Esto provee un camino natural al conocimiento humano. Los fenómenos más complejos desde el punto de vista del objeto de estudio y de las formas de su movimiento, son sin duda los fenómenos sociales en que el propio científico y el conjunto de la sociedad están involucrados. Para aprehender la esencia del nuevo fenómeno estudiado, el hombre simplifica, en la creación de sus reflejos de la realidad, los complejos mecanismos del movimiento de los fenómenos sociales, pasando así por el estudio de los aspectos relativos a la materia viviente (ciencias biológicas), las formas inanimadas de movimiento (la química, la física), y así sucesivamente, llegando a las más simples formas de movimiento de la materia (la matemática, la lógica formal). Pero el ciclo del conocimiento no se completa si el hombre no recorre la serie de las ciencias “al revés”, vale decir, de lo más simple a lo más complejo, transformando su interrogación en respuesta y acción. Las ciencias están así todas interrelacionadas, no existen entre ellas barreras impermeables ni compartimentos estancos. Esta visión de la ciencia estaba implícita en los trabajos fundamentales de Kolmogorov sobre la Teoría de Probabilidades de los años treinta. Comenzó trabajando con Jinchin sobre la convergencia de sumas de variables aleatorias independientes, problema para el cual encontraron condiciones necesarias y suficientes. En 1928, Andrei Nikolaievitch logró descubrir condiciones necesarias y suficientes para que la “ley de los grandes números” fuese válida, problema que se arrastraba de antaño y en el cual habían trabajado, entre otros, Chebyshev y Markov. En 1929 abordó el problema de la axiomatización de la teoría de probabilidades usando las herramientas de la Teoría de la Medida. Seguía ideas antes esbozadas por el propio Borel y por Lomnicki. Publicó primero una corta nota “Una teoría general de la medida y del cálculo de Probabilidades”. Cuatro años más tarde, en 1933, la idea original de Borel encontró su forma más acabada en la clásica monografía de Kolmogorov “Conceptos fundamentales de la Teoría de Probabilidades” publicada en alemán por Springer-Verlag. El autor se encontraba entonces en misión en Alemania junto con Aleksandrov. Esta monografía también formulaba conceptos básicos para el desarrollo de la teoría de procesos estocásticos, sucediendo a otra sobre “Métodos analíticos en teoría de probabilidad”. En esta última monografía, Kolmogorov descubrió profundas relaciones entre los procesos markovianos y las ecuaciones diferenciales. En el período que precedió a la segunda guerra mundial escribió alrededor de sesenta artículos sobre a Teoría de Probabilidades. Pero además escribió sobre geometría proyectiva, estadística matemática, la teoría de funciones de variable real, topología, lógica matemática, biomatemática, filosofía e historia de las matemáticas. Hay que destacar también que la década de los treinta marcó a Kolmogorov por varios motivos. Se graduó en 1929 y encontró su primer trabajo en el Instituto de Matemáticas y Mecánica dirigido por Egorov, después de haber estado aproximadamente un año fuera de la URSS enviado en misión a Alemania y Francia. En aquella época también viajó a esos países Aleksandrov. La efervescencia de la lucha política en Alemania no escapó a los dos amigos. Kolmogorov quedó impresionado por los duelos a espada de los jóvenes nacional-socialistas y agregaba: “El futuro de Alemania era dudoso. Courant, no sabemos si en serio o en broma nos decía que probablemente los nacional-socialistas se tomarían el poder, pero no por mucho tiempo, y que después el poder pasaría a los comunistas, incluso agregaba, pero esta vez realmente en broma, que en ese caso Aleksandrov vendría de Moscú como Comisario a la Universidad de Göttingen”. Se sentía venir la guerra nuevamente. La década anterior había sido aprovechada en la URSS para restañar las heridas de la guerra civil y comenzar con un nuevo orden económico. Entretanto el trabajo científico se desarrollaba con grandes ímpetus. Varios hombres de ciencia soviéticos visitaban Europa en misiones oficiales. Entre ellos Lusin, Aleksandrov, Kolmogorov. Este último, en particular, aprovechó su viaje a Francia y Alemania para conversar con cuanto matemático célebre pudo encontrar, resolviendo al pasar una buena cantidad de problemas planteados por éstos. Así se contactó con Courant, Carathéodory, Landau, Emy Noether, Neugebauer, Hermann Weyl, Fréchet, Paul Lévy, Borel, Lebesgue. Hacia el año 1935, Aleksandrov y Kolmogorov adquirieron una vieja casa en Komarovka cerca de Bolshev. Ahí instalaron una gran biblioteca y acomodaron las habitaciones para poder acoger en forma conveniente alrededor de quince personas. Así se instauró un verdadero ritual de la “Komarovka”: de los siete días de la semana, cuatro los pasaban en esa casa; siendo uno de ellos completamente dedicado a la recreación física: sky, excursiones a pie, natación. Se acostumbraba invitar grupos de jóvenes estudiantes. Kolmogorov les daba cita en una estación alejada de la casa, a unos treinta kilómetros, y de ahí se los llevaba caminando a la Komarovka a través de la nieve. El que no soportaba la prueba, tomaba el bus y se devolvía a su casa. A aquellos que continuaban hasta el final, se les acogía en la Komarovka , donde después de un baño, comían y se dedicaban a discutir de arte o de ciencias. Una jornada típica en la Komarovka tenía el siguiente horario: Desayuno de 8 a 9; estudio de 9 a 14; almuerzo a las 14; sky, carreras, o caminatas de 15 a 17; comida de 17 a 18; luego lectura, música, discusión sobre temas científicos generales; finalmente, una corta caminata nocturna, especialmente durante las noches de luna en invierno; término de la jornada alrededor de las 23 horas. El dúo de científicos se destacó por su pasión por los deportes acuáticos y por las caminatas en la nieve. A todos sus alumnos supieron comunicar su inquietud por una formación integral. ¿Cuántos alumnos formó? La lista es enorme. Entre muchos otros, y en épocas distintas, se cuenta a Shilov, Fage, Obukov, Zasujin (que murió en la guerra), Monin, Yaglom, Sevastianov, Sirazhdinov, Uspenskii, Gnedenko, Gelfand, Pinsker, Projorov, Borovkov, Zolotarev, Alekseev, Barenblatt, Bolshev, Dobrushin, Medvedev, Mijalevich, Belyaev, Meshalkin, Epojin, Rozanov, Sinai, Tijomirov, Shiryaev, Arnold, Bassalygo, Ofman, Kozlov, Zhurbenko, Abramov, Bulinsky, Maltsev, entre los alumnos extranjeros, destaca el sueco Martin-Löf. Muchos de ellos han sido elegidos miembros de número de la Academia de Ciencias de la URSS : Maltsev (Álgebra, Lógica Matemática); Millionshchikov (Mecánica); Nikolskii (Teoría de funciones); Obukov (Física de la atmósfera); Projorov (Teoría de Probabilidad); Miembros correspondientes de la Academia de Ciencias de la URSS , Bolshev (Estadística Matemática); Borovkov (Teoría de Probabilidad y Estadística Matemática); Gelfand (Análisis Funcional); Monin (oceanología) ; Miembros de la Academia de Ciencias de Ukrania, Gnedenko (teoría de Probabilidad e Historia de las Matemáticas); Mijalevich (Cibernética); Miembro de la Academia de Ciencias de Uzbekistán, Sirazhdinov (Teoría de Probabilidad). Hacia fines de la década de los treinta, Kolmogorov comenzó a interesarse cada vez más en los problemas de mecánica de la turbulencia. El primer trabajo en esta dirección, usando procesos estocásticos, fue de Millionshchikov, alumno de Kolmogorov, en 1939. Posteriormente, en 1941, el propio Andrei Nikolaievitch publicó el principal trabajo en el tema. Estos primeros resultados fueron luego confirmados experimentalmente, cuando se dispuso de las facilidades materiales para hacerlo. Por esa razón, Kolmogorov volverá más tarde a abordar estos temas, como muchos otros sobre los cuales trabajó. En efecto, fue típico de su posición respecto a la investigación científica que ningún tema lo considerara agotado jamás. Es propio de una concepción científica consecuente del mundo: el desarrollo del conocimiento en su conjunto modifica necesariamente los objetos propios de estudio de cada ciencia particular; esto obliga al científico a reelaborar en forma constante su teoría, tratando de que cada nueva versión interprete en forma más adecuada el mundo real. Así también los problemas relativos a los fundamentos de la Teoría de Probabilidades los abordará nuevamente a propósito de su desarrollo de la Lógica Constructiva , posteriormente, desde el punto de vista de la Teoría de la Información , y, hacia el final de sus días, introduciendo nuevos conceptos sobre sucesiones aleatorias motivado por los avances en cibernética. Al inicio de la década de los cuarenta, con una acabada visión histórica del desarrollo de las matemáticas, escribió un artículo titulado “Matemáticas” para la segunda edición de la Enciclopedia Soviética. Nuestra ciencia aparece ahí en toda su riqueza, como un proceso lleno de vida; destacando los principales desafíos de la época, Kolmogorov también propone una original periodización de nuestro desarrollo. Este artículo ejerció una influencia notable en la orientación del desarrollo de las Matemáticas, no sólo en la Unión Soviética sino que en el mundo entero. Este hecho adquiere hoy una perspectiva aún mayor, cuando sabemos que en aquella época el fascismo y el nazismo propagaban en Europa una cultura de destrucción que habría de ser el coro ideológico del avance de sus tropas en el desquiciado intento de someter al mundo. La guerra golpeará nuevamente los pueblos de Europa. El Estado Soviético, en medio del tráfago de la lucha por la defensa ante la agresión fascista, buscará proteger a sus intelectuales. No los moviliza. Sin embargo muchos tomarán parte en la guerra en forma voluntaria. Uno de los casos más conocidos es el del músico Dimitri Shostakovich, quien debió insistir varias veces para ser enviado a Leningrado. Allí se le encargará que continúe su trabajo de compositor. Así lo hará y pasará a la historia su séptima sinfonía “Leningrado”, compuesta y producida en la ciudad mártir durante el sitio al que fue sometida por las tropas nazis. Veinte millones de soviéticos mueren defendiendo a la humanidad de la barbarie fascista. El trabajo científico, por su parte, no se detuvo. Aún en los peores momentos de la guerra, los institutos, las Universidades, funcionaron. Kolmogorov siguió recibiendo alumnos: Monin, Yaglom, estuvieron entre ellos. Pasado el amargo trago de la guerra. La URSS comenzó nuevamente a restañar sus heridas. Vino un período de guerra fría en el mundo, impulsado por la administración norteamericana, que hizo temer lo peor, es decir un nuevo enfrentamiento global. Estas dificultades externas, unidas a las penurias de la guerra, no dejaron de tener consecuencias en la vida política interna en la URSS [...] De la época data su propia incursión en la Genética. En un artículo publicado en 1940 él demostraba cómo los resultados de los seguidores de Lysenko -contrariamente a lo que ellos pretendían- confirmaban las leyes de Mendel. Asumía así su responsabilidad histórica como científico consecuente. El período de la posguerra vio nacer nuevos y numerosos trabajos de Kolmogorov y sus alumnos sobre variados campos. Siguiendo su proyecto estratégico, Kolmogorov pasó de la Teoría de Probabilidades a la Teoría de la Información , la Estadística ; luego a la cibernética y a la Lógica constructiva. Pero también dedicó muchos años al trabajo en una escuela ( la Escuela nº 18 de Moscú), que pasó a ser una escuela experimental y donde pudo ir probando paso a paso sus textos para la enseñanza básica y media. Esa institución se transformó en un semillero de científicos ( 97 a 98 las investigaciones en Teoría Ergódica y Sistemas Dinámicos fueron apareciendo en la obra de Kolmogorov después de la Teoría de la Información , pero en su deseo de aplicar estos resultados a la Física nuevamente. Corrían los años 1955-1956. La introducción de la epsilon-entropía lo llevó a estudiar características especiales de ciertas funciones de variable real, desembocando muy naturalmente en el 13º problema de Hilbert que consiste en probar para ciertas funciones continuas de tres variables que no pueden ser representadas como composición de funciones continuas de dos variables. El año 1956, Kolmogorov llegó a la conclusión de que cada función continua, de cualquier número de variables, puede ser representada como la composición de funciones continuas de tres variables. Redujo así el problema de Hilbert a un problema de representación de funciones sobre árboles universales en tres dimensiones. Posteriormente este problema fue resuelto en 1957 por Arnold bajo la dirección de Kolmogorov, con una respuesta negativa a la conjetura de Hilbert: toda función continua de tres variables puede ser representada como composición de funciones continuas de dos variables. Enfocó luego las investigaciones en estos temas hacia los problemas de inestabilidad hidrodinámica, volviendo a estudiar los fenómenos de turbulencia. La llave maestra en esos desarrollos había sido la Teoría de la Información. En la década de los sesenta, se propuso reformular esta teoría desde el punto de vista de la generación de algoritmos. Aparece así un concepto central, el de complejidad de un objeto finito. De ahí el salto a la lógica constructiva era completamente natural. Pero no podía darse por satisfecho si no retornaba a los fundamentos de la Teoría de Probabilidades, retorno que animará hasta los últimos años de su vida. Señalemos al pasar, que el trabajo inaugural del Primer Congreso Mundial de la Sociedad Bernoulli en 1986, fue un trabajo de él con su equipo sobre la aleatoriedad de sucesiones. Esos últimos trabajos fueron en gran parte dictados. Una grave afección a la vista lo tenía prácticamente ciego. Rodeado del cariño de su esposa y de sus discípulos, jamás estuvo solo. Un joven adolescente talentoso, de 13 años, Andrei Albertovitch Shiryaev, hijo del célebre matemático Albert Shiryaev, iba a leer para él todos los días desde hacía varios años. El sentido de la vida, las inquietudes de la juventud, la pasión por el arte, eran temas frecuentes de conversación entre el anciano y el muchacho. No faltaban las acaloradas discusiones sobre Geografía, disciplina en la cual Andrei Albertovitch es ya todo un experto, pero jamás logró sorprender al maestro. Andrei Nikolaievitch ya no está, pero la naturaleza guarda el eco de sus preguntas y los hombres conservan su mensaje de esperanza. La vida de todo científico completo es parte de un torrente inagotable que labra el curso de la humanidad.